数学の未解決問題一覧50選｜有名問題と解決済みを整理

数学の未解決問題には、リーマン予想やP vs NP問題など、世界最高峰の数学者が現在も答えを探している難問が数多く残されています。

この記事では数学の未解決問題を一覧で紹介し、問題の意味や現在の位置づけ、すでに解決された歴史的難問との違いまで分かりやすく整理します。

なお、数学では研究の進展によって「未解決」だった問題が解決されたり、特定の場合だけ証明されたりすることがあります。そのため、単に名前を50個並べるのではなく、現在も未解決なのか、歴史的な問題なのか、名称や定義に注意が必要なのかもあわせて確認していきます。

数学の未解決問題一覧とは？現在も答えが分からない数学の難問

数学の未解決問題とは、問題自体は明確に定義されているものの、正しいことを証明する方法や反例がまだ見つかっていない問題です。

「数学には必ず答えがある」というイメージを持つ人もいるかもしれません。

しかし実際の数学研究では、問いそのものは非常にシンプルなのに、何十年、何百年と解決できない問題が存在します。

たとえば「すべての4以上の偶数は2つの素数の和で表せるのか」というゴールドバッハ予想は、意味だけなら中学生でも理解できます。

一方で、一般の場合について完全な証明を与えることは極めて難しく、代表的な数学の未解決問題として知られています。ゴールドバッハ予想、双子素数予想、コラッツ問題などは現在も著名な未解決問題として紹介されています。

数学未解決問題の歴史的背景

数学の未解決問題は、古代から現代まで、さまざまな時代や文化の中で生まれてきました。

古代ギリシャの数学者から、中世イスラム世界の学者、近代ヨーロッパの数学者、そして現代の研究者まで、「まだ誰にも分からない問い」を追究する営みは数学の発展そのものでもあります。

重要なのは、未解決問題がいつまでも同じ形で残り続けるとは限らないことです。

新しい数学理論や計算方法が登場すると、長年解けなかった問題に突然別の道が開けることがあります。

フェルマーの最終定理やポアンカレ予想は、その代表例といえるでしょう。

かつて世界的な未解決問題だったものが解決されたことで、問題だけでなく、その証明のために使われた数学自体も大きく発展しました。

なぜ数学の未解決問題は重要なのか

未解決問題の価値は、「答えがまだ分からない」という面白さだけではありません。

難問に挑戦する過程で、新しい数学的理論や計算手法が生まれることがあるからです。

問題そのものを完全に解決できなくても、その途中で生み出された理論が、別の問題や物理学、情報科学などに応用されることもあります。

特にP vs NP問題は計算機科学と深く関係し、「答えが正しいか簡単に確認できる問題なら、答え自体も簡単に見つけられるのか」という本質的な問いです。

ナヴィエ・ストークス方程式の問題は水や空気など流体の運動に関係し、ヤン＝ミルズ理論と質量ギャップは量子場理論と密接につながっています。

つまり数学の未解決問題は、純粋数学だけの話とは限りません。

現代科学がどこまで世界を数学的に説明できるか、その境界線を示す問題でもあるのです。

未解決問題を解いたときの特典は？

数学の未解決問題を解決すれば、数学者にとって非常に大きな研究成果になります。

なかでも有名なのが、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題です。

2000年に7つの問題が選定され、解決した問題1題につき100万ドル、合計700万ドルの賞金が設定されました。2026年時点で解決済みなのはポアンカレ予想だけで、残る6問題は未解決として掲載されています。

ただし、未解決問題を解いた価値は賞金だけではありません。

その証明が数学の新しい分野を開く可能性があり、研究史そのものに名前が残るほどの成果になることがあります。

数学の未解決問題一覧50選

ここから、数学の未解決問題として知られるものや、歴史的に重要な問題、元記事で取り上げていた数学上の難問を含めて50項目紹介します。

注意したいのは、以下の50項目すべてが現在も未解決という意味ではないことです。

元記事には解決済みの問題、問題の総称、現在一般的に使われている名称とは異なる表記も含まれていたため、現在の位置づけが分かるよう補足しています。

1. リーマン予想【未解決】

リーマンゼータ関数の非自明な零点について、すべての実部が1/2になるのかという予想です。

素数がどのように分布しているのかという数論の中心的テーマにつながっています。

元記事では1879年に提唱されたとしていましたが、クレイ数学研究所によれば、リーマン予想はベルンハルト・リーマンが1859年の論文で定式化したものです。

ミレニアム懸賞問題の一つで、現在も未解決です。

2. ヤン＝ミルズ理論と質量ギャップ【未解決】

元記事では「ヤング予想」としていましたが、正確にはYang-Mills Existence and Mass Gap（ヤン＝ミルズ理論と質量ギャップ）です。

量子ヤン＝ミルズ理論を数学的に厳密に構成し、「質量ギャップ」と呼ばれる性質が存在することを証明できるかが問われています。

実験やコンピューターシミュレーションは質量ギャップの存在を示唆していますが、数学的な完全証明は知られていません。

3. P vs NP問題【未解決】

PとNPは等しいのか、それともP≠NPなのかを問う計算機科学・数学の巨大問題です。

簡単にいえば、「答えを確認するのが簡単な問題は、答えを見つけることも簡単なのか」という問いです。

アルゴリズムや計算量理論の基礎にかかわり、ミレニアム懸賞問題の一つでもあります。

4. ナヴィエ・ストークス方程式の存在と滑らかさ【未解決】

ナヴィエ・ストークス方程式は、水や空気などの流体の動きを記述する方程式です。

3次元の場合に、与えられた条件から滑らかな解が常に存在し続けるのか、それとも有限時間で特異点が発生する場合があるのかという基本問題が残されています。

身近な流体を扱う方程式でありながら、数学的には極めて深い難問です。

5. ホッジ予想【未解決】

元記事では「ハッジ予想」と表記していましたが、一般的な日本語表記ではホッジ予想です。

代数幾何学において、特定の位相的な対象が代数的な図形の組み合わせとして表現できるのかを問います。

特定の場合では成立が分かっていますが、一般の場合は未解決で、ミレニアム懸賞問題に含まれています。

6. バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想【未解決】

楕円曲線上の有理点の構造と、その楕円曲線に対応するL関数の振る舞いを結び付ける予想です。

元記事にあった「楕円曲線のランクとL関数の特定の値との関係」という説明は、この問題の中心部分を指しています。

数論の重要問題で、現在もミレニアム懸賞問題として残っています。

7. ゴールドバッハ予想【未解決】

4以上のすべての偶数は、2つの素数の和で表せるのかという非常に有名な問題です。

たとえば10なら3＋7、20なら7＋13と表せます。

膨大な範囲で成り立つことが確認されていても、それだけでは「すべての偶数」についての数学的証明にはなりません。

この「いくら試しても証明にはならない」という点は、未解決問題を理解するうえで重要です。

8. 双子素数予想【未解決】

11と13、17と19のように、差が2になる素数の組を双子素数と呼びます。

双子素数予想は、このような素数のペアが無限に存在するのかという問題です。

素数間隔に関する大きな進展はありましたが、「差が必ず2」という本来の双子素数予想は証明されていません。

9. コラッツ予想【未解決】

元記事では「コリャトーレの予想」と記載していましたが、一般にはコラッツ予想（Collatz conjecture）として知られています。

正の整数について、

• 偶数なら2で割る
• 奇数なら3倍して1を足す

という操作を繰り返したとき、どの正の整数から始めても最終的に1に到達するのか、という問題です。

ルールは小学生でも追えるほど単純ですが、一般的な証明はまだありません。

10. ビール予想【未解決】

元記事の「アンドリュ・ベージュ予想」は、内容からビール予想（Beal Conjecture）を指していると考えられます。

大まかには、A^x＋B^y＝C^zという形の方程式で指数がすべて2より大きい整数の場合、解が存在するならA、B、Cは共通の素因数を持つはずだという予想です。

ビール予想にも100万ドルの賞金がありますが、これはクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題とは別で、AMSが管理するビール賞です。

11. モンジュ−シャフャレビッヒ予想【名称・定義に注意】

元記事では「特定の種類のアーベル多様体は楕円曲線のジャコビアンとして埋め込めるか」という問題として紹介していました。

ただし、「モンジュ−シャフャレビッヒ予想」という表記は一般的な数学上の問題名として確認しにくく、別の予想や用語が混同された可能性があります。

数学の未解決問題を調べる場合、日本語表記だけでなく英語の正式名称や提唱者まで確認することが重要です。

12. キャパレオーヴィ問題【名称・定義に注意】

元記事では「3次元で異なるトポロジーを持つ2つのユークリッド空間の構造は同じか」という問題として掲載していました。

ただし「キャパレオーヴィ問題」という名称は標準的な未解決問題名として位置づけが明確ではありません。

トポロジーにはユークリッド空間、多様体、滑らかな構造に関する難問が多数存在するため、類似テーマとの混同には注意が必要です。

13. ヘッジホッグ予想【名称・説明に注意】

元記事では「任意の平面グラフの彩色問題に関する予想」としていました。

数学には「hedgehog」という語を用いる幾何学上の概念もあり、元記事の説明だけでは特定の標準的予想を一意に判断できません。

一方、平面グラフの彩色と深く関係する有名問題として四色問題があります。

14. エルデシュ–トゥラン予想【未解決】

エルデシュとトゥランの名前を冠した予想はいくつかあります。

特に有名なのが加法的基底に関するエルデシュ–トゥラン予想で、整数を和として表す方法の個数に関係する数論の問題です。

元記事では「十分大きな偶数を3つの素数の和で表す問題」としていましたが、一般にエルデシュ–トゥラン予想と呼ばれる内容とは区別して考える必要があります。

15. シュニレルマンの問題【歴史的テーマ】

元記事では「十分大きな自然数は一定個数の素数の和で表せるか」と紹介していました。

シュニレルマンは加法的整数論に大きな成果を残しており、自然数を有限個の素数の和で表す研究はゴールドバッハ型の問題と密接に関係しています。

ここでは「現在の代表的未解決問題」というより、未解決問題研究の歴史を理解するテーマとして見るのが適切です。

16. ポアンカレ予想【解決済み】

3次元の単連結な閉多様体は3次元球面と同相なのか、という問題です。

1904年にアンリ・ポアンカレが提起し、長年にわたり数学最大級の未解決問題でした。

グリゴリー・ペレルマンの研究によって解決され、2010年にはクレイ数学研究所がミレニアム賞の授与を発表しました。ペレルマンはその賞金の受け取りを辞退しています。

ミレニアム懸賞問題7題のうち、2026年時点で唯一解決済みなのがポアンカレ予想です。

17. グリムの予想【未解決】

グリムの予想は、連続する合成数について、それぞれに異なる素因数を割り当てられるのではないかという数論上の予想です。

元記事では「素数の連続する部分集合に関する予想」としていましたが、より正確には連続する合成数とその素因数に関係する問題です。

18. グレアムの数【未解決問題そのものではない】

グレアム数は、ラムゼイ理論のある問題から現れた非常に巨大な数です。

元記事では数学未解決問題の一つとして紹介していましたが、グレアム数自体は予想や問題ではなく、具体的に定義された数です。

巨大数として非常に有名なので、数学の難問を調べる際によく一緒に目にする言葉ではあります。

19. フェルマーの最終定理【解決済み】

nが2より大きい整数のとき、

x^n＋y^n＝z^n

を満たす正の整数x、y、zは存在しない、という定理です。

ピエール・ド・フェルマーが書物の余白に証明を発見したという趣旨の書き込みを残したことで有名になり、その後350年以上にわたって数学者を悩ませました。

アンドリュー・ワイルズが1993年に証明を発表した後、修正を経て1995年に論文として完成しました。

したがって現在は「未解決問題」ではありません。

しかし、長期間にわたって未解決だった問題が新しい数学理論によって突破された代表例として、今なお非常に重要です。

20. 四色問題【解決済み】

どのような平面地図でも、隣接する地域が同じ色にならないよう4色以内で塗り分けられるかという問題です。

長年未解決でしたが、コンピューターを利用した証明によって解決されました。

「コンピューターを用いた証明を人間はどのように受け止めるべきか」という新しい論点も生んだ、数学史上重要な問題です。

21. エルデシュの素数予想【表記に注意】

元記事では「任意のnに対し、nとn＋1の間にはO((log n)^2)個の素数が存在するか」と説明していました。

しかしnとn＋1の間に整数は存在しないため、この表現のままでは数学的な問題として成立しません。

エルデシュは素数、組合せ論、グラフ理論など非常に多くの問題を提起しているため、別のエルデシュ予想と混同された可能性があります。

22. ランドールの予想【名称に注意】

元記事では「ある複素半平面における多項式の零点に関する予想」と紹介していました。

ただし「ランドールの予想」という表記だけでは、一般的な著名未解決問題を特定するのは困難です。

零点の分布に関する問題としてはリーマン予想をはじめ、解析学や数論に多数の重要問題があります。

23. ザリンドルの予想【名称に注意】

元記事では「複数の変数を持つ非定数多項式が無数の整数解を持たないか」という内容でした。

多変数多項式の整数解はディオファントス幾何学の大きな研究領域ですが、「ザリンドルの予想」という名称の位置づけは明確ではありません。

未解決問題では、問題名よりも『どの方程式について何を証明したいのか』を確認する方が本質的です。

24. ディオファントス方程式【問題の総称】

整数解を求める方程式を広くディオファントス方程式と呼びます。

これは1つの未解決問題の名称ではなく、非常に大きな研究分野です。

特定のディオファントス方程式には現在も未解決のものが多数存在する一方、一般的なアルゴリズムの存在を問うヒルベルト第10問題については否定的な解答が得られています。

25. モーツキンの問題【定義に注意】

元記事では「特定の条件下での非退化三角形の数に関する問題」としていました。

モーツキンの名前は組合せ論や幾何学など複数の分野に登場するため、何を指しているかを限定する必要があります。

数学では同じ人物の名前が複数の定理や問題に付けられることがあり、一覧を見る際の注意点の一つです。

26. マーリン−ピタッシの問題【名称・定義に注意】

元記事では「計算複雑性におけるランダムアクセス機械と決定的なトリリンガルアクセス機械の間の関係」と説明していました。

ただし、この名称と説明は標準的な計算量理論の問題として確認しにくいものです。

計算複雑性分野の中心的未解決問題としては、先ほど紹介したP vs NP問題が代表的です。

27. エルデシュの異なる距離問題【重要な研究問題】

平面上にn個の点を置いたとき、点どうしの異なる距離はいくつ必要になるのかという離散幾何学の問題です。

この問題については大きな研究成果が出ていますが、関連する最適評価などを含め研究が続いています。

非常に簡単に図示できる一方、深い組合せ論と幾何学が関係する問題です。

28. シドンの問題【広い研究テーマ】

シドン集合とは、異なる2要素の和が重複しにくいような整数集合です。

元記事では「任意の整数の部分集合がシドンシーケンスである必要条件は何か」という形で紹介していました。

シドン集合そのものは1つの未解決問題ではなく、その最大サイズや構成法など多くの研究問題を含むテーマです。

29. ウラムの予想【複数の問題が存在】

スタニスワフ・ウラムの名前を冠した予想や問題は複数存在します。

元記事では「線形に再帰的な数列が自然数全体を覆うか」と紹介していましたが、「ウラムの予想」だけでは対象を特定できません。

数学の未解決問題一覧を見るときには、正式な英語名や数式まで確認した方が安全です。

30. フロベニウス問題【一部は解決・一般形は複雑】

互いに素な正の整数を使い、非負整数係数の線形結合では表せない最大の整数を求める問題です。

2つの整数の場合には有名な公式があります。

一方、整数の個数が増えた一般形では問題が大幅に複雑になります。

したがって「完全に未知の一問」というより、条件によって難しさが変わる数学問題と理解するとよいでしょう。

31. エルデシュ−マウラー予想【名称に注意】

元記事では「任意の無限順序集合に対し、異なる順序タイプの部分集合が無限に存在するか」と紹介していました。

ただし、この日本語名称は一般的な有名未解決問題として確認しにくいため、原典を確認する必要があります。

32. クロネッカーの問題【歴史的な研究テーマ】

元記事では「二次体の整数の範囲内でのユニットの存在に関する問題」と説明していました。

クロネッカーの名と深く結び付く有名テーマには、数論における「クロネッカーの青春の夢」などがあります。

数体や代数的数論の発展に大きな影響を与えてきた研究テーマです。

33. エルデシュの双子素数予想【双子素数予想と重複】

「無限に多くのnが存在してnとn＋2がともに素数になるか」という内容は、8番で紹介した双子素数予想と同じ問題です。

元記事では別項目になっていたため、そのまま位置を残しています。

代表的な未解決問題一覧を整理するときには、同じ問題の別名や重複にも注意が必要です。

34. アルティンの原始根予想【未解決】

元記事の「アーチン予想」は、一般にはアルティンの原始根予想を指す場合があります。

特定の条件を満たす整数が、無限に多くの素数を法として原始根になるのではないかという数論上の予想です。

素数の分布に関する代表的な未解決問題の一つです。

35. セルバーグの整数問題【名称に注意】

元記事では「リーマン予想に関連したエポケ数の問題」と紹介していました。

ただし「エポケ数」を含め、一般的な数論用語として意味を特定しにくいため、この説明のまま未解決問題として断定することはできません。

セルバーグは解析的整数論に非常に大きな業績を残しており、リーマン予想に関連する研究とも深く関係しています。

36. シヴァリクシュナンの予想【名称に注意】

元記事では「ルジャンドル記号の特定の性質に関する予想」と紹介していました。

ルジャンドル記号は平方剰余を扱う数論上の重要概念ですが、この日本語名称だけでは標準的な問題を特定できません。

37. ケイリーグラフの解釈予想【名称に注意】

元記事では「任意のケイリーグラフは有限単純群のケイリーグラフとして解釈できるか」と紹介していました。

ケイリーグラフは群の構造をグラフとして表現する重要な対象ですが、この表現のまま一般的な代表未解決問題として扱うには注意が必要です。

38. ハリシュ＝チャンドラに関連する問題【広い研究領域】

ハリシュ＝チャンドラの研究は、リー群や表現論に大きな影響を与えています。

元記事では「複素半単純リー群の表現論に関する問題」としていました。

ただし、これは1つの具体的未解決問題というより、非常に広い研究領域を示す説明です。

39. アティヤ予想【複数の予想が存在】

元記事では「任意の2つのトポロジカル空間の間のホームオモルフィズムのクラスはBorel集合か」としていました。

しかし「アティヤ予想」と呼ばれる問題には複数の文脈があり、この説明だけで一意には特定できません。

未解決問題を学ぶときは、「○○予想」という人物名だけでなく、対象となる数式や数学分野もセットで確認することが大切です。

40. ホップ予想【未解決問題を含む】

ホップの名を冠した幾何学・トポロジーの予想には、曲率を持つ多様体とオイラー標数との関係などがあります。

元記事では「特定の幾何学的・トポロジカルな性質を持つ多様体に関する予想」としていました。

現代幾何学でも重要な問題群です。

41. マーラーの予想【複数の問題が存在】

元記事では「線形不等式の特定のクラスに関する問題」としていました。

マーラーの名を冠する問題には数論や凸幾何学など複数のものがあります。

そのため「マーラーの予想」とだけ書くより、どの分野のマーラー予想かを明記する必要があります。

42. プラトー問題【古典問題は解決・一般化研究あり】

境界となる曲線が与えられたとき、その境界を持つ面積最小の曲面が存在するかという問題です。

シャボン膜をイメージすると分かりやすいでしょう。

古典的なプラトー問題については重要な存在定理が確立されていますが、より複雑な条件や高次元への一般化では研究課題が残っています。

43. セルバーグの3/16問題【表現に注意】

元記事では「リーマン面の特定のタイプに関する予想」と紹介していました。

セルバーグの3/16定理や、その周辺にある固有値予想などが関係する分野です。

「3/16予想」という一言だけで現在の未解決問題を表すより、スペクトル理論に関する問題群として理解する方が適切です。

44. テイトの結合予想【名称に注意】

元記事では「有限単純群の特定の分類に関する予想」としていました。

ただし、この日本語名称では標準的な未解決問題を特定するのが困難です。

有限単純群の分類自体は20世紀数学の巨大な成果として知られており、それに関連する研究問題は現在も存在します。

45. ハイマン・レヴィーシュニッツの予想【名称に注意】

元記事では「有理関数の積分に関する予想」と紹介していました。

有理関数や初等関数の積分可能性は微分代数や記号計算とも関連します。

ただし、この名称については出典や英語名を確認してから未解決問題として扱う必要があります。

46. バズ・スワガートの予想【名称に注意】

元記事では「シンボリック計算と数論的アナロジーに関する予想」として掲載していました。

しかし、この名称は一般的な数学の著名未解決問題として確認しにくいため、現在の代表的未解決問題として断定することは避けるべきでしょう。

検索結果で見つけた一覧をそのまま再利用せず、正式名称と原典を確認する重要性がよく分かる例です。

47. オッペンハイマーの予想【名称に注意】

元記事では「ある種類のリーマン面の存在に関する予想」としていました。

数学には「オッペンハイム予想」と呼ばれる著名な数論の問題がありますが、これは元記事の説明とは異なるテーマです。

似た名前の数学者や問題名を取り違えないよう注意が必要です。

48. ポール・エルデシュの計算複雑性予想【名称に注意】

元記事では「計算問題を解くのに必要なステップ数に関する予想」としていました。

計算量に関する未解決問題ならP vs NP問題が代表的ですが、エルデシュの名前を冠した問題は非常に多いため、元記事の名称だけでは一意に特定できません。

49. サントロ予想【名称に注意】

元記事では「特定のガロア群の存在に関する予想」としていました。

ガロア群の実現可能性に関しては、任意の有限群が有理数体上のガロア群として現れるかを問う逆ガロア問題など、有名な未解決問題があります。

一方、「サントロ予想」という名称との対応については確認が必要です。

50. ケイティ−シンガー予想【名称に注意】

元記事では「4次元の特定のトポロジカルな性質に関する予想」としていました。

名称からは「カディソン＝シンガー問題」など別の数学問題との混同も考えられるため、元記事の表記をそのまま現在の未解決問題として扱うのは適切ではありません。

数学の未解決問題一覧では、このように「本当に現在も未解決なのか」「名称は正しいのか」を確認すること自体が重要です。

数学の未解決問題で特に注目すべき7つは？

数多くの未解決問題の中でも、特に世界的に知られているのがクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題です。

2000年に7題が選ばれましたが、ポアンカレ予想が解決されたため、2026年時点で未解決なのは次の6題です。

• リーマン予想
• P vs NP問題
• ナヴィエ・ストークス方程式の存在と滑らかさ
• ホッジ予想
• バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
• ヤン＝ミルズ理論と質量ギャップ
• ポアンカレ予想は解決済み

ここを押さえておけば、「数学で今もっとも有名な未解決問題は何か」という疑問に対する大枠は理解できます。

2025年から2026年にかけてもクレイ数学研究所では各ミレニアム問題をテーマにした講演が行われており、今なお第一線の研究対象であることが分かります。

リーマン予想はなぜ重要？

リーマン予想は、素数がどのように分布するのかを深く理解するうえで重要な予想です。

素数は2、3、5、7、11……と一見不規則に並んでいます。

しかし、リーマンゼータ関数の零点を調べることで、その不規則さの奥にある構造を捉えられることが分かってきました。

リーマン予想は、非自明な零点がすべて実部1/2の直線上に存在すると主張します。

クレイ数学研究所によれば、非常に多くの零点について条件を満たすことが計算で確認されていますが、それでも無限に存在する零点すべてについての証明にはなりません。

私はここに未解決問題の面白さが凝縮されていると感じます。

「ものすごく多くの場合で正しい」と「数学的に必ず正しい」は、まったく別の話なのです。

P vs NP問題は私たちにも関係する？

P vs NP問題は純粋な数学パズルではなく、計算機科学の根本にかかわります。

正解を見れば短時間でチェックできる問題について、そもそもその正解を短時間で発見する方法も必ず存在するのかが核心です。

アルゴリズム、最適化、暗号、人工知能など、計算を扱う多くの分野と結び付きます。

だからこそ、数学を専門にしていない読者にも知っておいてほしい未解決問題の一つです。

ゴールドバッハ予想と双子素数予想は理解しやすい

専門知識がほとんどなくても意味を理解できる代表例が、ゴールドバッハ予想と双子素数予想です。

「偶数を2つの素数の和で表せるか」「差が2の素数ペアは無限にあるか」という問いだけなら非常に単純です。

それでも一般的な証明は得られていません。

難しい数式を理解できなくても、「問題の意味を理解すること」と「その問題を証明すること」の間には巨大な距離があると実感できます。

解決済みなのに未解決問題一覧に出てくる問題は？

数学の未解決問題を検索すると、ポアンカレ予想、フェルマーの最終定理、四色問題など、すでに解決された問題が一緒に掲載されていることがあります。

これは必ずしも不自然ではありません。

いずれも長い間、数学史を代表する未解決問題だったからです。

ただし、「現在の未解決問題一覧」として紹介するなら、解決済みであることを明記する必要があります。

ポアンカレ予想

ポアンカレ予想は1904年に提唱され、約1世紀にわたり未解決でした。

ペレルマンが2002年から2003年に公開した研究によって解決へと至り、クレイ数学研究所は2010年にミレニアム賞の授与を決定しました。

ミレニアム懸賞問題の公式ページでも、現在は「Solved problems」に分類されています。

フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理は、350年以上にわたって数学者が挑戦したことで知られています。

1995年にアンドリュー・ワイルズの証明が完成し、現在は定理として確立されています。

興味深いのは、単に昔の難問が一つ消えたわけではないことです。

その解決には楕円曲線やモジュラー形式といった高度な数学が使われ、異なる分野同士の驚くべきつながりが明らかになりました。

筆者としては、未解決問題の本当の価値は「答え」だけでなく、「答えを探すために数学そのものが発展すること」にあると感じます。

四色問題

四色問題も、かつて非常に有名な未解決問題でした。

地図を隣接地域が同色にならないよう塗り分けるなら4色で十分か、という直感的な問題です。

解決の過程でコンピューターによる大規模な場合分けが使われたことから、「人間がすべてを直接確認できない証明を数学的証明と呼んでよいのか」という議論も生まれました。

現在では、コンピューター支援証明は数学の重要な手法の一つになっています。

数学の未解決問題から何が学べる？

数学の未解決問題に触れることで、私は数学に対する見方が大きく変わりました。

学校数学では、問題文が与えられれば基本的に答えが用意されています。

しかし研究の世界では、問題を作った人さえ答えを知らないことがあります。

この違いは非常に大きいです。

数学への新しい視点が得られる

未解決問題を学ぶと、既知の知識を超えた数学の姿を見ることができます。

一般的な教科書では「公式を覚え、問題を解く」という流れが中心ですが、数学研究の最前線では、「そもそも本当に正しいのか」「例外は存在しないのか」という段階から考えます。

リーマン予想も、コラッツ予想も、双子素数予想も、問題そのものはずっと前から知られています。

それでも現在まで研究が続いています。

数学が完成した学問ではなく、今この瞬間も増え続けている知識体系だということが分かります。

挑戦すること自体に価値がある

解決されていない問題に挑戦する価値は、最終的に自分が証明を完成させられるかどうかだけではありません。

なぜ難しいのかを考えるだけでも、数論、解析、幾何学、組合せ論、計算量理論など、さまざまな数学への入口になります。

私自身、未解決問題を調べるほど、「簡単に説明できる問題ほど簡単に解ける」というわけではないことに面白さを感じます。

むしろゴールドバッハ予想やコラッツ予想のように、誰でもルールを理解できる問いが何世代もの数学者を悩ませているところに数学独特の魅力があります。

コンピューターやAIが発達すれば全部解けるとは限らない

今後の数学を考えるうえで、私はここも重要なポイントだと考えています。

コンピューターによって膨大な数の例を調べることはできます。

しかし、1兆個、1京個の例で成立したとしても、「無限にすべて成立する」という証明とは違います。

リーマン予想についても非常に多くの零点で条件が確認されていますが、それだけで予想全体の証明にはなりません。

AIや計算機が数学研究を支援する能力は今後さらに高まると考えられます。

それでも、計算による確認と一般証明の違いは未解決問題を見るうえで忘れてはいけない点です。

これは今後、AIによる数学研究が進むほど重要になる視点ではないでしょうか。

数学の未解決問題に挑戦したい人は何から始めればいい？

いきなりリーマン予想の証明を目指す必要はありません。

未解決問題に興味を持ったら、まず「問題文を自分で理解できるもの」から調べるのがおすすめです。

たとえば、

• ゴールドバッハ予想
• 双子素数予想
• コラッツ予想
• フロベニウス問題
• グラフ彩色に関する問題

などは、専門的な研究内容すべてを理解できなくても、問題の入口には触れやすいでしょう。

実際に小さい数を使って試してみるのも面白い方法です。

ただし、何百万通り試したとしても証明にはならないため、「実験」と「証明」を分けて考えることが大切です。

高校・大学数学につながる入口として使える

未解決問題をきっかけに、

「素数とは何か」

「複素数とは何か」

「関数の零点とは何か」

「アルゴリズムの計算量とは何か」

と一つずつ遡って学んでいく方法もあります。

難しい問題を完全に理解しようとするのではなく、分からない言葉を一つずつ理解していくだけでも立派な数学学習になります。

私の感想と考察｜数学の未解決問題が面白い理由

数学の未解決問題に触れることで、私は数学の奥深さや魅力を改めて感じました。

これらの問題は単なる難しい計算問題ではありません。

人間がこれまで積み上げてきた知識の、まさに「端」に置かれている問いです。

未解決だからこそ数学の現在地が見える

教科書だけを読んでいると、数学はすでに完成した学問のように見えることがあります。

しかし実際には、クレイ数学研究所が2025年から2026年にもミレニアム懸賞問題に関する講演を開催しているように、100年以上前から知られている問題も含め、現在進行形で研究が続いています。

私はこの点が非常に面白いと思います。

答えが分かっている問題を解く学校数学から一歩外へ出ると、「人類がまだ答えを知らない問題」が普通に存在しているのです。

難問の解決より途中の発見が重要な場合もある

未解決問題について、「解けなければ意味がない」と考える必要はありません。

非常に大きな問題では、完全解決に至るまでに部分的な定理や新しい計算技術が次々と生まれます。

双子素数予想でも、差が2であること自体は未証明である一方、素数の間隔に関して重要な進展が積み重ねられてきました。

数学研究では「最終回答」だけでなく、そこへ近づく過程そのものが新しい知識になります。

問題名だけを集める一覧には注意が必要

今回、元の記事にあった50項目を改めて整理すると、もう一つ重要な点が見えてきました。

インターネット上の「数学の未解決問題一覧」には、

• 現在も本当に未解決の問題
• すでに解決された歴史的問題
• 一つの問題ではなく研究分野全体を表す言葉
• 別名で重複して掲載された問題
• 日本語表記や定義が不正確なもの

が混在することがあります。

そのため、一覧の項目数が多いことだけを価値と考えるのは危険です。

数学では「有名そうな名前」より、その問題が何を主張しているのか、現在どこまで分かっているのかを確認する方が重要です。

この記事でも、元記事の50項目を残しながら、その違いが分かるよう整理しました。

数学好きが集まるコミュニティも学習の助けになる

数学の未解決問題に興味を持ったら、一人で調べ続けるだけでなく、数学を学ぶ人同士の議論を見るのも刺激になります。

大学や研究機関による公開講演、数学系学会の解説、オンライン上の数学コミュニティなどでは、最新研究や有名問題について議論されることがあります。

元記事では「オンラインセミナーやワークショップも定期的に開催されるコミュニティ」を紹介していましたが、特定の団体名が示されていなかったため、ここでは特定コミュニティが実在すると断定することは避けます。

数学を学ぶ際には、出典が分かる大学・学会・研究機関などの情報を中心に確認すると安心です。

読者の疑問が新しいテーマにつながる

この記事を読んでくださる皆さんの「これはどういう意味なのか」という疑問こそ、数学を深く知る入口です。

リーマン予想の数式を最初から理解できなくても問題ありません。

「素数と何の関係があるのか」というところから調べれば、それだけで数論への入口になります。

難しい内容だからと遠ざけるより、理解できる部分から少しずつ近づく方が、数学の面白さを感じやすいと私は考えています。

数学を基礎から学び直すという方法もある

未解決問題を読んで数学に興味を持ったものの、「中学校や高校の数学から忘れている」という人もいるでしょう。

その場合はいきなり高度な専門書へ進むより、方程式や関数、整数など基礎的な内容から学び直した方が理解しやすくなります。

元記事では参考書として、飯田圭一さんの『中学の数学・方程式が超わかる本 びっくりするほど説明がていねい！』を掲載していました。

元記事掲載時の価格情報は1,650円（税込・送料無料、2023年10月27日時点）でした。

価格や在庫、送料などは現在変更されている可能性があるため、購入する場合は販売ページの最新情報を確認してください。

中学数学そのものとリーマン予想などの現代数学には大きな距離があります。

しかし整数、方程式、関数といった基礎が、その先の数学を理解する土台になることは変わりません。

まとめ｜数学の未解決問題は人類の知識の最前線

数学の未解決問題とは、問題の意味は定義されていても、一般的な証明や反例がまだ得られていない数学上の問いです。

リーマン予想、P vs NP問題、ナヴィエ・ストークス方程式、ホッジ予想、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想、ヤン＝ミルズ理論と質量ギャップなど、2026年現在も世界的な難問が残されています。

一方、ポアンカレ予想、フェルマーの最終定理、四色問題のように、かつて長期間未解決だったものの、現在では解決されている問題もあります。

数学の未解決問題一覧を見るときは、「有名な数学問題」と「現在も未解決の数学問題」を区別することが大切です。

未解決問題の魅力

未解決問題は、その難しさゆえに数学者を引きつけ続けます。

しかし魅力は難易度だけではありません。

問題の背景には、それまでの数学の歴史、新しい理論、数多くの数学者の試行錯誤があります。

一つの難問を追いかけるだけで、数論、解析学、幾何学、トポロジー、組合せ論、計算機科学など、数学のさまざまな分野へつながっていきます。

私が特に面白いと感じるのは、「問題を理解すること」と「問題を解決すること」がまったく別の難しさを持つ点です。

コラッツ予想のような単純なルールから、リーマン予想のような高度な解析まで、未解決問題の姿は一つではありません。

未来への期待

数学の未解決問題は、解決まで非常に長い時間がかかることがあります。

それでも、新しい理論、新しい計算技術、コンピューター、そして次世代の数学者によって少しずつ理解が進んでいます。

2026年現在、ミレニアム懸賞問題でも6題が未解決のままです。

次に歴史的な難問を解決するのが誰なのかは分かりません。

しかし、答えが分からない問題が残っているからこそ、数学にはこれから発見される知識があります。

数学の未解決問題は、「数学は完成していない」という事実を最も分かりやすく示してくれる存在なのではないでしょうか。

よくある質問

数学の未解決問題で一番有名なのは何ですか？

代表的なものはリーマン予想です。

素数の分布と深く関係し、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題にも選ばれています。1859年に定式化され、現在も未解決です。

数学の未解決問題を解くと本当に賞金がもらえますか？

一部の問題には賞金があります。

クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題では、1題につき100万ドルの賞金が設定されています。7題中ポアンカレ予想だけが解決済みです。

また、ビール予想にも別制度として100万ドルの賞金があります。

もちろん、証明を発表しただけで直ちに賞金が支払われるわけではなく、それぞれの制度が定めた審査・条件を満たす必要があります。

中学生や高校生でも理解できる数学の未解決問題はありますか？

あります。

特にゴールドバッハ予想、双子素数予想、コラッツ予想は、問題そのものの意味なら比較的理解しやすいでしょう。

ただし、問題文を理解できることと、証明できることはまったく別です。

むしろ「説明は簡単なのに誰も証明できていない」というところが、数学未解決問題の大きな魅力です。

ポアンカレ予想は現在も未解決ですか？

いいえ。

ポアンカレ予想はグリゴリー・ペレルマンによって解決され、2010年にクレイ数学研究所がミレニアム賞を授与しました。

現在、ミレニアム懸賞問題の公式一覧でも解決済みに分類されています。

数学の未解決問題は全部で何問ありますか？

「全部で○問」と数えることはできません。

世界中の数学者がさまざまな分野で新しい問題を研究しており、重要な未解決問題だけでも非常に多く存在します。

また、ある問題が解決される一方で、その研究から新しい問題が生まれることもあります。

そのため「数学の未解決問題一覧50選」や「100選」は、あくまで代表例を選んだ一覧と考えるのが適切です。